Il planimetro

Un altro strumento analogico utile per la matematica è il planimetro, che consente la misurazione dell'area di una figura piana disegnata in scala. Da un punto di vista concettuale lo si può pensare come un'applicazione delle formule di Green, che permettono di calcolare una funzione legata alla superficie (in questo caso l'area) valutando, lungo il contorno della superficie stessa, l'integrale curvilineo di una funzione collegata.
Era molto usato in tutte le applicazioni tecnico-scientifiche che richiedono la misurazione di un'area irregolare, dalla biomedicina all'ingegneria e alla topografia. Però, negli ultimi anni, il loro uso sta declinando e viene sempre più sostituito da tecniche di grafica computazionale applicata ad immagini digitalizzate.
I planimetri possono essere classificati in due grandi famiglie: quelli geometrici, ossia basati sulla scomposizione dell'area da misurare in una somma di figure semplici, e integratori, ossia strumenti che eseguono meccanicamente una integrazione lungo il contorno dell'area da misurare.

Adesso vediamo la storia di questo strumento.

Il primo planimetro fu quello ortogonale e sembra sia stato quello progettato da Johann Martin Hermann nel 1814 e costruito poi nel 1817. Di questo non sappiamo molto, ma si presuppone che sia molto simile a quello del fiorentino Tito Gonnella (1794-1867), che nel 1825 pubblicò la propria invenzione. Quest'ultima consente di calcolare un'area percorrendone il contorno con una punta mobile.

Il modello fu migliorato nel 1858 dallo svizzero Jakob Amsler-Laffon e venne chiamato planimetro polare ed è più preciso ed affidabile dei precedenti planimetri ortogonali.
Il planimetro polare viene poggiato sulla planimetria dalla quale si deve misurare l'area e lo strumento consiste in un braccio snodato con un'estremità che rimane appoggiata in posizione fissa sul foglio (polo) mentre l'altra estremità, avente una punta (non pungente, chiamata calcatoio o segnatoio) viene utilizzata dall'operatore per seguire tutto il contorno dell'area da misurare. Negli strumenti più recenti il calcatoio è sostituito da un puntatore munito di lente d'ingrandimento e il movimento del braccio aziona una rotellina graduata sulla quale sarà fatta la lettura che sarà proporzionale all'area calcolata.
Per la misurazione di aree più grandi, in particolare l'area sottostante al grafico di una curva, sono stati prodotti planimetri in grado di scorrere lungo una guida o montati su un carrello.

L'ultimo modello è il planimetro a scure, inventato in Danimarca nel 1875 dal capitano Holger Prytz ed è il planimetro costruttivamente più semplice e più economico e di semplice manutenzione. È costituito da una barra metallica piegata ad U con un'estremità appuntita (detta calcatoio) e l'altra a forma di scure. Spostando il calcatoio lungo il tracciato della curva che delimita l'area da misurare, anche la scure si sposta sulla superficie del foglio; questo movimento è solo apparentemente casuale, in quanto la sua forma controlla gli spostamenti laterali. Al termine dell'operazione si misura la distanza tra le posizioni iniziale e finale del centro della scure e questa, moltiplicata per la lunghezza dello strumento, dà una buona approssimazione dell'area della curva. L'approssimazione può essere migliorata ripetendo la misurazione in condizioni diverse (ad esempio invertendo il verso di percorrenza della curva o cambiando la posizione del planimetro) e poi eseguendo una media.