Riassunto del blog

Questo sarà l'ultimo post del blog, che riassumerà tutti i precedenti. Come avrete sicuramente notato, ho parlato di quasi tutte le macchine utili per la matematica descrivendo sia strumenti analogici che digitali; per far ciò sono partita dalle macchine che servono per calcolare poiché senza queste le altre non esisterebbero.
Adesso, invece, vorrei fare un riepilogo cronologico della storia di questi strumenti matematici:
-4000 a.C.: i Sumeri utilizzano i "calculi", piccoli sassolini che permettevano di contare tramite i raggruppamenti e gli spostamenti di questi.
-2000 a.C.: in Cina si sviluppa l'abaco, una semplice tavola ricoperta di polvere o di sabbia e incisa con uno stilo o con le dita per annotare i risultati parziali dei calcoli e i numeri da ricordare; questo strumento è utilizzato anche dai Greci e dai Romani.
-1500 d.C. circa: Leonardo da Vinci inventa uno strano macchinario per effettuare calcoli con il sistema decimale, ma non funziona.
-1550 d.C. circa: Fabrizio Mordente costruisce il compasso "mordente", caratterizzato dalla presenza di cursori con punte ortogonali all'asse delle gambe.
-1597 d.C.: Galileo Galilei inventa il compasso "geometrico e militare", che ha sette linee proporzionali tracciate sulle gambe e quattro scale segnate sul quadrante che consentivano di effettuare operazioni aritmetiche e geometriche.
-1600 d.C. circa: Robert Dudley costruisce un compasso nautico munito di gambe piatte e di visori ed erano impiegati per compiere misurazioni durante la navigazione.
-1617 d.C.: John Napier inventa i "bastoncini" grazie a cui si ottiene la tabellina dei multipli di ogni numero.
-1620 d.C.: Edmund Gunter inventa il primo regolo calcolatore, dato da una scala logaritmica, dal posizionamento di numeri su un righello e dall'addizione di essi con l'aiuto di un compasso.
-1623 d.C.: Schickard costruisce l' "orologio calcolatore" che era in grado di eseguire somme e sottrazioni grazie ad un sistema di propagazione del riporto con una rotella ad un solo dente.
-1630 d.C.: Edmund Wingate costruisce un regolo calcolatore utilizzando due scale di Gunter, una di fronte all'altra, per eseguire direttamente  moltiplicazioni e divisioni, senza l'utilizzo del compasso.
-1632 d.C.:  William Oughtred  inventa il primo regolo circolare, tracciando due scale di Gunter su cerchi concentrici.
-1642 d.C.: Blaise Pascal inventa la "pascalina", una macchina con cui si poteva sommare e sottrarre e si segnava il riporto.
-1654 d.C.: Robert Bissaker costruì il "Gauging Rule", un regolo specializzato nel misurare il contenuto dei barili di vino, birra o liquori e nel calcolarne il carico fiscale.
-1671 d.C.: Leibniz costruisce la "stepped reckoner", una macchina a scatti con una manovella che permetteva anche di moltiplicare.
-1677 d.C.: Henry Coggeshall creò la "Carpenter's Slide Rule", un regolo che ha permesso di misurare e calcolare il volume e il peso dei carichi di legname.-1709 d.C.: Poleni costruisce una macchina aritmetica che attraverso il meccanismo del "traspositore a denti variabili" riusciva a fare le quattro operazioni elementari.
-1820 d.C.: Thomas de Colmar costruì l’ "aritmometro", un apparecchio portatile commercializzato in grado di eseguire le quattro operazioni, con risultati fino a 12 cifre.
-1823 d.C.: Charles Babbage inventa la "difference engine" che aveva lo scopo di creare tabelle di polinomi utilizzando un metodo numerico chiamato il "metodo delle differenze". Successivamente inventa la "analytical engine", una macchina programmabile per eseguire ogni genere di calcolo utilizzando un sistema di input e output.
-1859 d.C.: Amédée Mannheim costruisce il regolo moderno, migliorando le scale e introducendo il cursore mobile.
-1878 d.C.: George Fuller brevettò l' "Elica Calcolatoria" cilindrica, che servì per progettare dirigibili, aeroplani, ponti e grattacieli.
-1885 d.C.: William Seward Burroughs presentò domanda di brevetto per una macchina addizionatrice dotata della funzionalità di stampa.
-1886 d.C.: Frank Stephen Baldwin costruì una calcolatrice meccanica a tastiera estesa su cui era montato un carello mobile.-1887 d.C.: Felt costruisce il "Comptometer", la prima calcolatrice meccanica dotata di tastiera per l'immissione dei dati e la prima addizionatrice a pressione di tasti.
-1890 d.C.: Hollerith costruisce la "macchina tabulatrice", la prima utilizzata nel campo matematico della statistica e utilizzata dall’amministrazione degli Stati Uniti per sveltire i tempi di rilevazione statistica relativi al censimento della popolazione.
-1936 d.C.: Alan Turing inventa una macchina in grado di eseguire algoritmi e dotata di un nastro infinito su cui può leggere e/o scrivere dei simboli.
Nello stesso anno Zuse intraprese la progettazione e la costruzione dello Z1 che presentava una struttura già molto simile a quella dei moderni computer.
-1948 d.C.: Curt Herzstark costruisce la "curta", prima vera e propria calcolatrice meccanica portatile.

-1961 d.C.: fu lanciata sul mercato la prima calcolatrice totalmente elettronica da ufficio, il Bell Punch/Sumlock ANITA Mk.VII.

-1972 d.C.: vengono usate le prime calcolatrici scientifiche, formate da una fonte di energia elettrica, un display LCD, una memoria e una circuiteria elettronica.

Ora ho definitivamente terminato il lavoro e spero vivamente che questo blog abbia stuzzicato il vostro interesse e soddisfatto la vostra curiosità!

Il planimetro

Un altro strumento analogico utile per la matematica è il planimetro, che consente la misurazione dell'area di una figura piana disegnata in scala. Da un punto di vista concettuale lo si può pensare come un'applicazione delle formule di Green, che permettono di calcolare una funzione legata alla superficie (in questo caso l'area) valutando, lungo il contorno della superficie stessa, l'integrale curvilineo di una funzione collegata.
Era molto usato in tutte le applicazioni tecnico-scientifiche che richiedono la misurazione di un'area irregolare, dalla biomedicina all'ingegneria e alla topografia. Però, negli ultimi anni, il loro uso sta declinando e viene sempre più sostituito da tecniche di grafica computazionale applicata ad immagini digitalizzate.
I planimetri possono essere classificati in due grandi famiglie: quelli geometrici, ossia basati sulla scomposizione dell'area da misurare in una somma di figure semplici, e integratori, ossia strumenti che eseguono meccanicamente una integrazione lungo il contorno dell'area da misurare.

Adesso vediamo la storia di questo strumento.

Il primo planimetro fu quello ortogonale e sembra sia stato quello progettato da Johann Martin Hermann nel 1814 e costruito poi nel 1817. Di questo non sappiamo molto, ma si presuppone che sia molto simile a quello del fiorentino Tito Gonnella (1794-1867), che nel 1825 pubblicò la propria invenzione. Quest'ultima consente di calcolare un'area percorrendone il contorno con una punta mobile.

Il modello fu migliorato nel 1858 dallo svizzero Jakob Amsler-Laffon e venne chiamato planimetro polare ed è più preciso ed affidabile dei precedenti planimetri ortogonali.
Il planimetro polare viene poggiato sulla planimetria dalla quale si deve misurare l'area e lo strumento consiste in un braccio snodato con un'estremità che rimane appoggiata in posizione fissa sul foglio (polo) mentre l'altra estremità, avente una punta (non pungente, chiamata calcatoio o segnatoio) viene utilizzata dall'operatore per seguire tutto il contorno dell'area da misurare. Negli strumenti più recenti il calcatoio è sostituito da un puntatore munito di lente d'ingrandimento e il movimento del braccio aziona una rotellina graduata sulla quale sarà fatta la lettura che sarà proporzionale all'area calcolata.
Per la misurazione di aree più grandi, in particolare l'area sottostante al grafico di una curva, sono stati prodotti planimetri in grado di scorrere lungo una guida o montati su un carrello.

L'ultimo modello è il planimetro a scure, inventato in Danimarca nel 1875 dal capitano Holger Prytz ed è il planimetro costruttivamente più semplice e più economico e di semplice manutenzione. È costituito da una barra metallica piegata ad U con un'estremità appuntita (detta calcatoio) e l'altra a forma di scure. Spostando il calcatoio lungo il tracciato della curva che delimita l'area da misurare, anche la scure si sposta sulla superficie del foglio; questo movimento è solo apparentemente casuale, in quanto la sua forma controlla gli spostamenti laterali. Al termine dell'operazione si misura la distanza tra le posizioni iniziale e finale del centro della scure e questa, moltiplicata per la lunghezza dello strumento, dà una buona approssimazione dell'area della curva. L'approssimazione può essere migliorata ripetendo la misurazione in condizioni diverse (ad esempio invertendo il verso di percorrenza della curva o cambiando la posizione del planimetro) e poi eseguendo una media. 

Immagini dei regoli

Ora vi mostrerò alcune immagini dei vari tipi di regoli.


Particolare di un regolo di Gunter, ca. 1790




Regolo fiscale Everard, ca. 1780




Carpenter's Rule, ca. 1850




Brewer's Rule, ca. 1820




Charpentier, ca. 1880, uno dei primi regoli generici





Uno dei primi cursori, Tavernier-Gravet, fine '800

Cursore del Faber Castell, ca. 1930




Cursore standard per il Nestler 23, il preferito a Einstein, ca. 1930



Fronte e retro di un regolo circolare Fowler, ca. 1910





Regolo cilindrico Fuller, 1921





Scala specifica per numeri complessi, ca. 1952





Regolo in esadecimale per programmatore di computer.

Il regolo calcolatore

Il regolo calcolatore è uno strumento di calcolo analogico, che sfrutta le proprietà dei logaritmi, riconducendo operazioni più complesse (prodotti, quozienti, esponenziali) ad operazioni più semplici sui logaritmi dei rispettivi operandi. Queste vengono eseguite graficamente, spostando una o più asticelle graduate con scala logaritmica.
Questo strumento si compone di tre parti: un corpo su cui si trovano delle scale fisse, un'asta scorrevole con delle scale mobili, alcune davanti, altre dietro e un cursore con una o più linee di riferimento. Adesso vediamo le sue origini!
Come ho già detto in un post precedente, nel 1617 John Napier rivoluzionò la matematica scoprendo i logaritmi e costruendo il primo strumento di calcolo, i famosi "bastoncini": è proprio in base a questi che si sviluppa il regolo calcolatore. Infatti, con logaritmi e bastoncini non si lavora rapidamente e nel 1620 Edmund Gunter, per sveltire i procedimenti, disegnò la scala logaritmica posizionando i numeri su di un righello ad una distanza dall'origine proporzionale al valore del loro logaritmo; invece di cercare i logaritmi nelle tavole basta addizionarli con l'aiuto di un compasso.
Nel 1630 Edmund Wingate utilizza due scale di Gunter, una di fronte all'altra, per eseguire direttamente  moltiplicazioni e divisioni, senza l'utilizzo del compasso.

Due anni dopo, William Oughtred traccia due scale di Gunter su cerchi concentrici, inventando così il primo regolo circolare.

Nel 1654 Robert Bissaker marcò le scale su righelli scorrevoli centrali, fino a quattro, per velocizzare i calcoli; questo regolo venne chiamato Gauging Rule ed era specializzato nel misurare il contenuto dei barili di vino, birra o liquori e nel calcolarne il carico fiscale; subito migliorato da Thomas Everard venne poi commercializzato per oltre 2 secoli. Poco dopo Isaac Newton vi aggiunse una scala che permetteva di risolvere le equazioni cubiche.
Nel 1677 Henry Coggeshall creò la Carpenter's Slide Rule, montata su due righelli di legno con la gradazione in pollici, la scala centrale scorrevole in bronzo e diverse altre scale per la risoluzione di vari problemi. E' uno strumento combinato che ha permesso di misurare e calcolare anche alla gente comune il volume e il peso dei carichi di legname ed era molto usato nei cantieri navali e nelle carpenterie.
Verso metà '800 divenne però pressante l'esigenza di strumenti di calcolo non solo specializzati nell' uso fiscale o marittimo e, indispensabili per la progettazione delle macchine a vapore e lo sviluppo delle ferrovie, cominciarono ad apparire i primi regoli per uso generico, armi segrete della rivoluzione industriale. 

Nel 1859 il tenente di artiglieria francese Amédée Mannheim migliorò le scale introducendo il cursore mobile: era nato il regolo moderno, subito introdotto in Italia da Quintino Sella.
Nel 1878 George Fuller brevettò una precisissima "Elica Calcolatoria" cilindrica, con ben 13 metri di scala, che servì per progettare dirigibili, aeroplani, ponti e grattacieli. Sono tutte costruzioni solidissime: il ponte di Brooklin e il Golden Gate rimangono ben saldi al loro posto e l'Empire State Building resistette all'impatto di un aereo che ne investì il 79° piano nel 1945.
Attorno al 1920 il regolo aveva assunto la sua forma definitiva: Einstein lo utilizzò per elaborare la teoria della relatività, Marconi per la radio, Fermi per la bomba atomica, Korolev per il programma Sputnik e Von Braun per i motori del Saturno V, il vettore lunare. Al fine di migliorarne la precisione, proporzionale alla lunghezza delle scale, si produssero modelli circolari anche di grandi dimensioni.
I primi elaboratori elettronici apparvero verso il 1946 ma erano giganteschi e costosissimi; la stessa IBM pensava di venderne al massimo quattro l'anno, ed i regoli sembravano insostituibili. Non si immaginava un mondo senza di essi: servivano alle massaie in cucina, tracciavano le rotte sull'astronave di "Star Trek", apparvero sulla copertina di Playboy, vennero proposti in forma di gemelli e fermacravatta. Ne esistevano di tutti i tipi, la Walt Disney aveva un modello semplificato per i bambini, fu costruito in Braille per i non vedenti, con scale dedicate alla risoluzione di problemi statistici, ed anche in base esadecimale, ottale o binaria per i programmatori di computer.
Nel 1969, dopo essere stato indispensabile nella progettazione dei vettori spaziali, il regolo venne infine utilizzato sull'Apollo 11 sbarcando sulla luna.
Per rispondere alle nuove esigenze di calcolo furono disegnati regoli sempre più complessi e in Unione Sovietica ne venne costruito uno, elettromeccanico, di ben 14 metri di lunghezza. Realizzato nelle officine Kalashnikov gli fu dato il nome del mostro biblico Behemoth, davvero appropriato per un simile gigante.
Il 1 febbraio del 1972 la Helwett Packard mise in vendita la prima calcolatrice scientifica economica, 50 volte più piccola delle concorrenti e tanto moderna da essere ancora in commercio; le funzionalità della nuova HP-35 erano irrinunciabili e i calcolatori analogici scomparvero definitivamente dal mercato.

Il compasso di Galileo

Nel corso del Rinascimento furono molti i tentativi di elaborare uno strumento universale che permettesse di eseguire agilmente calcoli aritmetici e operazioni geometriche; l’esigenza era sentita soprattutto in campo militare dove la tecnologia delle armi da fuoco richiedeva sempre più precise cognizioni matematiche. A queste esigenze rispondono i primi compassi di proporzione, messi a punto nella seconda metà del XVI secolo, e il compasso geometrico e militare di Galileo appartiene a questa categoria di strumenti. Fu inventato a Padova nel 1597, ha sette linee proporzionali tracciate sulle gambe e quattro scale segnate sul quadrante, che consentivano di effettuare con estrema facilità ogni sorta di operazione aritmetica e geometrica: dal calcolo degli interessi all’estrazione delle radici quadrate e cubiche, dal disegno dei poligoni al calcolo di aree e volumi, dalla misura dei calibri al rilevamento del territorio. 

Il successo dello strumento spinse Galileo a divulgare la sua invenzione e nel 1606 pubblicò 60 copie de "Le operazioni del compasso geometrico e militare", vendendole privatamente insieme ad altrettanti esemplari dello strumento. La pubblicazione del trattato suscitò subito grande interesse, tanto da provocare un’aspra polemica nel mondo accademico sulla paternità dell’invenzione; già nel 1607 Baldassarre Capra, uno degli studenti di Galileo, tentò di accreditarsi l’invenzione dello strumento negli ambienti più colti, pubblicando un trattato in latino sulle sue operazioni. 

Numerose varianti furono elaborate per tutto il XVII e XVIII secolo, mentre nel corso del XIX secolo, il compasso di proporzione fu gradualmente sostituito dalla diffusione di raffinatissimi regoli calcolatori

che sopravvissero negli studi tecnici degli ingegneri, degli architetti e dei geometri fino al recente avvento del computer.

Il compasso

Un altro strumento utile nella matematica è il compasso: questo è costituito da due aste di uguale lunghezza collegate fra loro a cerniera, in modo da poter assumere un'inclinazione relativa a piacere. Il compasso, nelle sue diverse configurazioni, consente di realizzare diversi tipi di operazioni: dal disegno al calcolo delle proporzioni, dalla misura dei calibri alla determinazione della posizione in mare.

Ci sono vari tipi di compassi e i principali sono:

- Compasso di divisione.

E' a punte fisse ed utilizzato nel disegno architettonico e nei cantieri di costruzione per riportare le misure e dividere le linee in parti uguali. Può essere semplice o munito di vite micrometrica per una maggiore precisione nell'apertura delle gambe.

- Compasso di riduzione.

E' a gambe incrociate, con centro fisso o mobile, e le punte opposte formano rapporti semplici di 1:2, 1:3 o altro. Lo strumento serve essenzialmente a riprodurre i disegni in scala ridotta o ingrandita.

-Compasso da carteggio nautico.

Il tipo più semplice di compasso nautico è costituito da un compasso a punte fisse, manovrabile con una sola mano, per calcolare rotte e distanze in mare sulle carte durante la navigazione.

I compassi nautici di Robert Dudley (1573-1649), che fu a lungo al servizio dei Medici e sovrintese alle fortificazioni del porto di Livorno, presentano una struttura più complessa: infatti, sono muniti di gambe piatte e di visori ed erano impiegati per compiere diversi tipi di misurazioni durante la navigazione.

-Compasso sferico o di calibro.

Formato da due gambe curve terminanti a punta, questo compasso è destinato a misurare i diametri dei corpi sferici e cilindrici (compasso di spessore) e l'ampiezza delle cavità (compasso di calibro). Nella pratica militare è usato per misurare i calibri delle artiglierie e i diametri dei proiettili. In architettura consente il rilievo e l'esecuzione delle colonne. Nella pratica scultorea, inoltre, serve a riportare le misure dal modello sul pezzo in esecuzione. Il compasso sferico è spesso munito di un arco graduato che consente di leggere direttamente la misura.

-Compasso a tre gambe.

Il compasso a tre gambe è detto anche compasso sferico o da mappamondo e serviva a trasferire su una carta le posizioni dei luoghi rilevate su un mappamondo, misurando la distanza di tre punti. Serviva anche a riprodurre un disegno o una carta geografica nella stessa scala.

-Compasso topografico.

Questo strumento è formato generalmente da due gambe piatte graduate, munite di traguardi alle estremità e di una bussola con scala dei gradi nel punto di cerniera. Era stato concepito per misurare gli angoli di posizione e le distanze dei luoghi nei rilevamenti topografici. Talvolta, come nel caso dell'archimetro, il compasso era dotato di un braccio trasversale incernierato ad un cursore scorrevole lungo una delle gambe; questo accessorio consentiva di misurare anche la distanza tra due luoghi lontani.

-Compasso tipo Mordente.

E' un particolare compasso di proporzione a otto punte, inventato da Fabrizio Mordente (1532-c. 1608), caratterizzato dalla presenza di cursori con punte ortogonali all'asse delle gambe. La posizione delle punte, misurata con l'ausilio di una riga munita di scale proporzionali, permetteva di definire le proporzioni tra linee, figure geometriche e corpi solidi. Il compasso era anche usato come strumento topografico.

-Compasso di proporzione.

Compasso caratterizzato dalla presenza sulle gambe di varie scale proporzionali che servono a definire le proporzioni tra linee, figure geometriche, corpi solidi o altro. Può essere del tipo a gambe incrociate, simile al compasso di riduzione, secondo il modello elaborato da Federico Commandino (1509-1575) e Jost Bürgi (1552-1632); del tipo a cursori, secondo il modello inventato da Fabrizio Mordente (1532-c. 1608); o del tipo a gambe piatte, secondo la tipologia perfezionata da Galileo (1564-1642) con il suo compasso geometrico e militare.

La calcolatrice moderna scientifica

Finalmente si arriva alla classica calcolatrice scientifica moderna! Questa calcolatrice, utilizzabile per comuni attività, è costituita dai seguenti componenti: una fonte di energia elettrica (come una batteria o un piccolo pannello fotovoltaico), un display LCD solitamente in grado di visualizzare da 8 a 12 cifre, una memoria a numero singolo e una circuiteria elettronica. Hanno anche un tastierino comprendente: le dieci cifre da 0 a 9, un separatore decimale, il segno di uguale, le quattro funzioni aritmetiche, un pulsante di cancellazione e quelli di accensione e spegnimento (o un interruttore) e altre funzioni di base.
Le calcolatrici scientifiche hanno numerose funzioni aggiuntive rispetto a quelle comuni, di utilità in varie discipline scientifiche come matematica, fisica e ingegneria, con la possibilità di eseguire calcoli di statistica tramite particolari modalità operative. Le calcolatrici scientifiche più avanzate hanno funzioni per il disegno di grafici (vengono chiamate quindi calcolatrici grafiche) ed includono caratteristiche proprie di un sistema di algebra computazionale; molti di questi modelli sono in grado di eseguire anche semplici programmi (in tal caso vengono chiamate calcolatrici programmabili). Questi modelli permettono anche il collegamento ad un computer o ad altre calcolatrici dello stesso tipo per il trasferimento di dati. Una funzionalità propria di questo tipo di calcolatrice è la possibilità di operare su frazioni oltre che su numeri decimali. Inoltre, è possibile operare sugli angoli in gradi sessagesimali o centesimali e radianti, con la possibilità di eseguire le rispettive conversioni, ed effettuare il calcolo di funzioni esponenziale, logaritmiche e trigonometriche.
Anche questa calcolatrice, però, ha dei problemi: infatti, tranne quando si lavora con numeri interi o con razionali aventi un numero di cifre significative minore della capacità della macchina, il numero verrà troncato in memoria. Inoltre la maggior parte delle calcolatrici eseguono le operazioni nell'ordine in cui vengono immesse, ignorando le regole di precedenza matematiche. Ad esempio, se eseguiamo un'operazione come 2+4×2 su una normale calcolatrice, verrebbe eseguita prima l'addizione e poi la moltiplicazione e il risultato 12 sarebbe un errore visto che la cifra esatta è 10. Un ulteriore problema sorge dalla scarsa qualità delle tastiere in alcuni prodotti economici che potrebbero non rispondere adeguatamente alla pressione dei tasti. 

Le macchine più importanti del Novecento

Negli anni successivi si costruirono tantissimi tipi di calcolatrici, con diverse caratteristiche, ed è per questo che non le descriverò tutte, ma nominerò solo le più importanti.
Innanzitutto, verso il 1920 Oscar Sundstrand introdusse l'attuale disposizione dei tasti su quattro righe e tre colonne.
Nel 1936 Alan Turing schematizzò i limiti delle macchine calcolatrici, ponendo le definizioni di quella che sarebbe diventata famosa come macchina di Turing; quest'ultima è una modello ideale che definisce una macchina in grado di eseguire algoritmi ed è dotata di un nastro infinito su cui può leggere e/o scrivere dei simboli. Essa ha la particolarità di potersi descrivere come costituita da meccanismi elementari molto semplici e ha la portata computazionale che si presume essere la massima: infatti, essa è in grado di effettuare tutte le elaborazioni effettuabili dagli altri modelli di calcolo noti all'uomo.
Sempre nel 1936 Zuse intraprese la progettazione e la costruzione di una macchina in grado di eseguire calcoli velocemente, ma dotata di una certa versatilità d'uso; questo è lo Z1, il cui prototipo venne costruito in casa dei genitori, che lo aiutarono economicamente. Questa macchina presentava una struttura già molto simile a quella dei moderni computer: era programmabile, dotata di unità di memoria e di un'autonoma unità di calcolo in virgola mobile basata sul sistema binario. Inoltre, lo "Z1" funzionava ad una velocità di clock generata da un motore elettrico, regolabile manualmente con un potenziometro. Le istruzioni venivano immesse tramite un nastro di celluloide perforato simile ad una pellicola cinematografica, sul quale venivano poi scritte anche le risposte del calcolatore. La macchina di Zuse utilizzava la tecnologia elettromeccanica disponibile negli anni trenta ed era basata su un originale sistema di memorie meccaniche a levette ed incastri azionate da un motore elettrico.
Nel 1948 fu costruita la Curta da Curt Herzstark, la prima calcolatrice meccanica portatile. Ha un'altezza di 85mm e un piccolo cilindro che può essere tenuto nel palmo della mano. Può essere utilizzata per effettuare addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni e, con maggiore impegno, anche l'estrazione della radice quadrata ed altre operazioni. Il principio di funzionamento riprende, perfezionandolo e miniaturizzandolo, quello dell'aritmometro di Leibniz, con i valori in entrata impostati tramite cursori e sommati o sottratti usando come traspositore un cilindro con scanalature di diversa lunghezza.
All'inizio del 1961 fu lanciata sul mercato la prima calcolatrice totalmente elettronica da ufficio: il Bell Punch/Sumlock ANITA Mk.VII, esteticamente simile al comptometer. Questa macchina usava valvole termoioniche per la circuiteria e tubi nixie per il display.
Inoltre, nel Novecento tra le società più importanti che producevano calcolatrici c'era la Olivetti. Questa industria produsse un gran numero di calcolatrici, tra cui sono da ricordare la divisumma14, che è la prima calcolatrice al mondo in grado di effettuare le quattro operazioni e di stampare, e la logos32B, che è la prima calcolatrice elettronica prodotta in Italia.

Zuse intraprese nel 1936 la progettazione e la costruzione di una macchina in grado di eseguire calcoli velocemente, ma dotata di una certa versatilità d'uso.

Il prototipo dello Z1 venne costruito in casa dei genitori, che lo aiutarono economicamente, pur non vedendo di buon occhio questa sua nuova iniziativa. La prima macchina di Konrad Zuse presentava una struttura già molto simile a quella dei moderni computer: era programmabile, dotata di unità di memoria e di un'autonoma unità di calcolo in virgola mobile basata sul sistema binario. Inoltre lo "Z1" funzionava ad una velocità di clock generata da un motore elettrico, regolabile manualmente con un potenziometro da un minimo di circa 0,3 cicli al secondo fino al massimo di 1 hertz, cioè un ciclo di calcolo al secondo.

Le istruzioni venivano immesse tramite un nastro di celluloide perforato simile ad una pellicola cinematografica, sul quale venivano poi scritte anche le risposte del calcolatore. La macchina di Zuse utilizzava la tecnologia elettromeccanica disponibile negli anni trenta, ed era basata su un originale sistema di memorie meccaniche a levette ed incastri azionate da un motore elettrico, che la rendevano simile nell'aspetto e nel suono prodotto ad una specie di grosso centralino telefonico poggiato su tavolo, anziché in verticale. Zuse la denominò inizialmente "V1", dove "V" è l'iniziale in tedesco di "Modello Sperimentale".

L'addizionatrice di Burroughs e la macchina di Baldwin

Nel gennaio del 1885 l'americano William Seward Burroughs presentò domanda di brevetto per una macchina addizionatrice dotata della funzionalità di stampa. Questa macchina funzionava in modo tale che, una volta introdotte le cifre dei numeri per mezzo della tastiera, il movimento di una leva posta sulla parte laterale della macchina provocava la rotazione degli ingranaggi per il calcolo del risultato. La leva, una volta elaborato il risultato, veniva riportata automaticamente nella sua posizione iniziale.

Sempre in questi anni Frank Stephen Baldwin costruì una calcolatrice meccanica a tastiera estesa su cui era montato un carello mobile. La macchina poggiava su quattro piedini di gomma e aveva la tastiera formata da 72 tasti in gomma dura, numerati da 1 a 9 e disposti in otto colonne; alla base di ogni colonna, inoltre, è posto un tasto rosso per l'azzeramento. Le colonne di tasti sono separate tra loro da indicatori visivi per l'impostazione delle cifre decimali e alla destra della tastiera sono situati i comandi operativi. 
Nella parte posteriore della calcolatrice è posto il carrello mobile sul quale sono posti il totalizzatore a sedici finestrelle e il numeratore a otto spazi (per la visualizzazione del moltiplicatore della moltiplicazione e il quoziente della divisione); mentre sul lato anteriore è posizionata l'impugnatura della leva che comanda gli spostamenti del carrello. Inoltre, sul fianco sinistro della macchina è situata la manovella per l'esecuzione delle operazioni, mentre sul lato destro del carrello inoltre si trova un'altra manovella più piccola per l'azzeramento dei visualizzatori.
Ruotando la manovella principale in senso orario si compiono addizioni e moltiplicazioni, mentre ruotando la manovella in senso antiorario si ottengono le sottrazioni e le divisioni. Il risultato delle addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni viene visualizzato sull'indicatore inferiore, mentre il quoziente delle divisioni viene visualizzato sull'indicatore superiore, con il resto sull'indicatore inferiore.

Il comptometer di Felt

Il Comptometer di Felt fu la prima calcolatrice meccanica dotata di tastiera per l'immissione dei dati e, in particolare, fu la prima addizionatrice a pressione di tasti. Ossia, la pressione di un tasto provocava la somma del corrispondente valore nella corretta posizione decimale, senza bisogno di ulteriori operazioni come l'azionamento di una manovella o la pressione del tasto "=". 

Inoltre, per la prima volta veniva adottata una tastiera i cui tasti, una volta premuti, tornavano rapidamente nella loro posizione iniziale. In particolare, la macchina era costruita in modo da evitare la rotazione degli ingranaggi oltre il necessario, avendo un dispositivo che provvedeva al fermo di essi una volta raggiunto il punto di massima escursione.
La macchina di Felt era dotata di una tastiera "ad ordine multiplo", cioè era formata da una matrice di nove file di tasti, uno per ogni cifra (da 1 a 9) e lo zero era prodotto dall'assenza di tasti premuti nella colonna corrispondente.
Nelle mani di un operatore esperto queste macchine erano estremamente rapide nell'eseguire addizioni e l'unico difetto del Comptometer era la mancanza di un dispositivo di stampa che permettesse una rapida verifica dei dati immessi.
Una cosa molto curiosa è il fatto che nel 1887 Felt realizzò il primo prototipo usando una scatola di spaghetti; per questo venne dato il nomignolo di "Macaroni box" ai primi modelli in legno.

La macchina tabulatrice di Hollerith

L’uso di schede perforate fu utilizzato anche in un congegno meccanico per la tabulazione dei dati: la tabulatrice di Herman Hollerith. Questa macchina è importante perché è la prima utilizzata nel campo matematico della statistica: infatti, era all’amministrazione degli Stati Uniti per sveltire i tempi di rilevazione statistica relativi al censimento della popolazione allora in corso (1890). Ispirato dai biglietti ferroviari, Hollerith progettò schede perforate codificate per età, stato di residenza, sesso e altre informazioni.
La sua macchina tabulatrice era basata su un funzionamento molto semplice: un insieme di fili metallici venivano sospesi sopra il lettore di schede, poste in corrispondenza di opportune vaschette di mercurio; una volta che i fili venivano spinti sulla scheda, essi permettevano di chiudere elettricamente il circuito solo in corrispondenza dei fori praticati durante la rilevazione. Il circuito elettrico attivato consentiva l’avanzamento del relativo contatore, avvertendo l’operatore della lettura avvenuta. Proprio per questo la macchina di Hollerith è considerata la progenitrice dei moderni calcolatori elettronici.

Immagine della macchina:

Le macchine di Babbage

Con l'industrializzazione, la necessità di eseguire calcoli di ogni tipo andava aumentando; fu in questo contesto che Charles Babbage elaborò i progetti di due calcolatrici: la difference engine ("macchina a differenza") e la analytical engine ("macchina analitica"). Tuttavia, la prima venne realizzata solo in parte e la seconda rimase nello stato di progetto.
Babbage presentò il modello della prima macchina alla Royal Astronomical Society nel 1823. Il suo scopo era quello di creare tabelle di polinomi utilizzando un metodo numerico chiamato il "metodo delle differenze. Questo metodo si basa sul polinomio interpolatore di Newton e la tabella viene costruita nel seguente modo: innanzitutto, se il polinomio aveva grado n, erano necessarie n+1 colonne. Per esempio, se è di secondo grado ci vogliono tre colonne: la prima colonna contiene il valore del polinomio, la seconda colonna contiene la differenza dei valori contenuti nella prima colonna e la terza colonna contiene la differenza dei valori contenuti nella seconda colonna. Il valore della terza colonna è costante perché per ogni polinomio di grado n la colonna n+1 contiene un valore che è costante; questo è cruciale per il funzionamento della macchina. Questo metodo può essere reiterato quante volte. Il progetto prevedeva la possibilità di contenere sette numeri da trentuno cifre; la macchina poteva quindi calcolare polinomi fino al 7º grado.
Inoltre, il dispositivo era di una notevole complessità e di grandi dimensioni strutturali: basti pensare che richiedeva l'assemblaggio di 25.000 parti, e la macchina completa sarebbe stata alta circa due metri e mezzo, larga due metri e profonda uno, con un peso di varie tonnellate
La costruzione di questa macchina iniziò ma non fu portata a termine a causa di due cose: la prima è rappresentata dall'attrito interno, dalle vibrazioni e dagli ingranaggi disponibili a quel tempo, non sufficientemente buoni per realizzare i modelli; la seconda è data dal continuo cambio d'idea riguardo al progetto della macchina.

Invece, con la macchina analitica, Babbage cercò di costruire una macchina che fosse programmabile per eseguire ogni genere di calcolo, non solo quelli relativi alle equazioni polinomiali. Lo schema teorico di questa macchina è universalmente riconosciuto come il primo prototipo di calcolatore generico complesso: infatti, è basato su un sistema di input, un sistema per l'elaborazione dei dati con un dispositivo chiamato "Mill" (mulino), e un sistema di output.
La macchina analitica doveva essere alimentata da un motore a vapore e doveva essere lunga più di 30 metri per 10 metri di profondità. I dati d'ingresso e il programma sarebbero stati inseriti tramite schede perforate, un metodo già utilizzato da Joseph Jacquard per programmare i telai meccanici. Erano previsti tre differenti tipi di schede: una tipologia era riservata alle operazioni matematiche, un altro tipo era previsto per le costanti matematiche e il terzo tipo serviva a caricare e salvare i dati. I dati di uscita sarebbero stati prodotti da uno stampatore e da un arco in grado di tracciare curve e la macchina sarebbe stata in grado di perforare delle schede per memorizzare dei dati da utilizzare successivamente. La memoria interna sarebbe stata in grado di contenere 1000 numeri di 50 cifre.
Un suo progetto concreto venne alla luce nel 1837; tuttavia, in parte a causa di difficoltà simili a quelle incontrate con la macchina differenziale, in parte a causa dei conflitti con i meccanici che stavano costruendo i componenti, la macchina non fu mai costruita.

L'aritmometro di de Colmar

Lo sviluppo del calcolo meccanico riprenderà solo nell'Ottocento: infatti, nel 1820 il francese Thomas de Colmar costruì l’aritmometro, un apparecchio portatile. Fu la prima calcolatrice ad essere commercializzata con grande successo: gli esemplari venduti furono più di 1500 nell’arco di trent’anni.
Questa macchina era in grado di eseguire le quattro operazioni, con risultati fino a 12 cifre, ma non poteva essere programmata per eseguire calcoli in successione. Inoltre, un contagiri sull’asse della manovella registra il numero di addizioni e un cancellatore a cremagliera permette di rimettere a zero tutti i totalizzatori alla fine del lavoro. 

La macchina di Thomas non presenta sostanziali innovazioni rispetto a quella di Leibniz, ma ho voluto parlarne perché è la prima ad essere progettata in modo da poter essere costruita in piccola serie dalle nuove macchine utensili della Rivoluzione Industriale. 

Immagine dell'aritmometro: 

La macchina aritmetica di Poleni

La prima calcolatrice meccanica inventata e realizzata in Italia è la macchina aritmetica di Giovanni Poleni. Il progetto di quest'ultimo era quello di realizzare una macchina, a modello di quella di Leibniz, che potesse però eseguire automaticamente le quattro operazioni aritmetiche, ricorrendo ad un meccanismo totalmente originale: il "traspositore a denti variabili". Questo meccanismo consente l'automazione della moltiplicazione attraverso la memorizzazione del fattore sul numeratore, evitando la necessità della continua impostazione del numero. La macchina di Poleni, inoltre, si differenzia dai dispositivi precedenti per il tentativo di rendere automatico anche il funzionamento: grazie al motore a peso, infatti, Poleni ha limitato l'intervento umano alla sola impostazione del calcolo, lasciando alla macchina l'esecuzione del lavoro.
Purtroppo l'originale della macchina è andata perduta, ma si ha una dettagliata descrizione nel volume "Miscellanea" del 1709.





La macchina presenta un telaio aperto in legno, terminante sulla sommità con una cimasa e il lato anteriore presenta una piastra quadrata fissata al telaio in modo tale che la diagonale del quadrato sia parallela alla base della macchina. Al centro della piastra è inserito un quadrante scanalato circolare, suddiviso in nove sezioni uguali e numerate da 1 a 9; in corrispondenza di ogni numero vi è un foro all'interno del quale c'è il piolo che blocca il movimento della manovella posta al centro del quadrante. Al di sopra della piastra quadrata si trova il totalizzatore composto da sei quadranti circolari disposti ad arco, ognuno dei quali presenta due finestrelle per la visualizzazione del numeratore. Al di sopra del numeratore si trova un'altra manovella che comanda, attraverso le tre ruote dentate situate sul lato posteriore, lo spostamento degli ingranaggi per la selezione del numeratore nelle operazioni di moltiplicazione e divisione. L'elemento centrale della macchina è costituito dal traspositore a ruota con numero variabile di denti, ovvero una ruota i cui denti sono spostabili manualmente in modo tale da permettere la selezione della ruota dentata del numeratore da ingranare. Il funzionamento della macchina è azionato da un motore a peso, costituito da una corda, avvolta su un cilindro, alla quale è appeso un peso per mezzo di un sistema di pulegge.
Per utilizzarla bisogna caricare il motore a peso avvolgendo la corda sul cilindro e impostare la cifra da operare utilizzando il piolo da infilare nei fori del quadrante e la manovella sul quadrante. Successivamente, bisogna selezionare manualmente i denti del traspositore per l'impostazione delle rotelle dei totalizzatori da ingranare e liberare la caduta del peso. L'unico problema è il fatto che la macchina può compiere le operazioni su numeri al massimo di tre cifre.
La macchina di Poleni conobbe in Europa una certa notorietà nei decenni successivi: infatti, è descritta e raffigurata nel "Theatrum Arithmetico-Geometricum" di Jacob Leupold e in "Versuch einer Geschichte der Rechenmaschine" di Johann Bischoff.

La Stepped Reckoner di Leibniz

Ispirato dalla macchina di Pascal, Leibniz realizza nel 1671 una calcolatrice meccanica in grado di effettuare le quattro operazioni: la Stepped Reckoner (calcolatrice a scatti). Il matematico tedesco presentò un modello di legno di questa macchina alla Royal Society di Londra nel 1673 e fu incoraggiato ad ultimare il suo progetto.
La Stepped Reckoner è lunga circa 67 cm, è costruita in ottone lucido e acciaio ed è montata in un case di rovere. È composta da due parti parallele unite tra di loro: un accumulatore posto sul lato posteriore della macchina, in grado di contenere fino a 16 cifre decimali, e una sezione di input, a 8 cifre, collocata anteriormente. La sezione di inserimento dei numeri è composta da 8 manopole con le quali è possibile inserire il numero su cui operare; è presente anche una manopola alla destra della sezione di input, chiamata "moltiplicatore", che permette di selezionare il numero da moltiplicare e il calcolo viene poi eseguito girando la manovella posizionata sul lato anteriore della macchina. La sezione di input è montata su binari e grazie alla rotazione di una manovella posizionata a sinistra è possibile spostarla lungo la sezione dell'accumulatore, allineando ogni cifra dell'operando ad una cifra dell'accumulatore. Inoltre, il risultato viene visualizzato cifra per cifra sulle 16 caselle di output dell'accumulatore e vi è una sezione in cui viene indicato il riporto e un meccanismo di azzeramento. Dunque, la macchina può sommare o sottrarre un numero a 8 cifre a/da un numero a 16 cifre, moltiplicare due numeri a 8 cifre e ottenere un risultato fino a 16 cifre e dividere un numero a 16 cifre per un divisore di 8 cifre.
L'addizione e la sottrazione vengono eseguite tramite un giro di manovella, mentre le operazioni di moltiplicazione e divisione vengono eseguite cifra per cifra sulle cifre del moltiplicatore o del divisore.





 Per eseguire velocemente le moltiplicazioni e le divisioni, Leibniz inventò uno speciale tipo di meccanismo, chiamato tamburo differenziato, da cui sporgono 9 "creste" di lunghezza crescente. Una ruota dentata accoppiata al tamburo differenziato si trova in posizione relativa diversa rispetto alle creste del tamburo, che agiscono su di essa come denti di un ingranaggio. Così, con un giro del tamburo, è possibile fare compiere alla ruota dentata accoppiata una rotazione variabile e quindi incrementare, in un solo colpo, di più unità la cifra rappresentata dalla ruota; ruotando in senso inverso, la cifra sarà sottratta. Il fatto che la ruota dentata permanga nella posizione impostata permette di "memorizzare" il numero e, quindi, di moltiplicare e dividere operando una successione di somme e sottrazioni. Il numero di addizioni o sottrazioni consecutive è controllato da una lancetta posizionata sul quadrante del moltiplicatore, che ha 10 fori nella sua circonferenza, numerati da 0 a 9. Per eseguire una moltiplicazione o una serie di somme è sufficiente girare la lancetta sul quadrante in senso orario puntandola su un foro numerato e così si esegue una somma per ogni foro finché la lancetta non torna al punto di partenza. Lo stesso funzionamento si ha per le operazioni di sottrazione e divisione ma in questo caso la lancetta dovrà essere girata in senso antiorario.

Operazioni con la pascalina

Tramite la Pascalina è possibile eseguire le operazione aritmetiche di addizione e sottrazione, utilizzando anche il riporto: infatti, ogni ruota, fino alla penultima a sinistra che è quella delle decine di migliaia, al termine di ogni giro completo segnala il riporto, tramite ingranaggi, alla ruota successiva che effettua uno scatto in senso orario memorizzando il valore. 

-Somma: supponiamo di voler sommare 12 e 28: si rappresentano i due numeri tramite le ruote dentate. Si opera nel seguente modo: prima si ruotano di 1 scatto le decine e di 2 scatti le unità,  dopo si ruotano di 2 scatti le decine e di 8 scatti le unità. È da notare il fatto che alla fine dell'ultimo passo la ruota delle unità avrà compiuto un giro completo e dunque segnalerà il riporto alla ruota della decine, la quale aggiungerà uno scatto e la calcolatrice segnerà il numero 40. 

Prima di passare alla seconda operazione è necessario azzerare la macchina: si assegnano ad ogni ruota gli scatti mancanti ad arrivare a 9 e così si ha un nove in ogni fessura superiore e successivamente si effettua un ulteriore scatto alle unità, che trasmetterà un riporto che per un effetto a catena si trascinerà fino alla sesta ruota a sinistra, azzerando la macchina. 
-Sottrazione: la Pascalina faceva le sottrazioni come somma di numeri negativi utilizzando il metodo del complemento a 9 del sottraendo. Supponiamo di voler sottrarre da 82 il 27: si sposta verso l'alto la barra, si ruota di 2 scatti le decine e di 7 scatti le unità, in modo che la macchina indicherà il numero 72 che è il complemento a 9 di 27. Questo numero va sommato a 82 dopo aver riabbassato la barra e azzerato lo strumento, procedendo con il metodo della somma. Il risultato mostrato è 154 e sommando 1 a 54 avremo finalmente 55.

La pascalina

La prima vera precorritrice della moderna calcolatrice è la pascalina, inventata nel 1642 dal matematico francese Blaise Pascal. Ebbe molta notorietà grazie all'accurata descrizione contenuta nell'Encyclopédie, che la rese il punto di riferimento per la realizzazione molte calcolatrici successive. 

La macchina si presenta come un parallelepipedo di ottone e su una superficie laterale di questo parallelepipedo sono applicate sei ruote dentate collegate ad ingranaggi interni alla scatola. 

Ogni ruota rappresenta in maniera incrementale da destra verso sinistra la rappresentazione di una cifra di un numero: avremo all’estrema destra le unità, successivamente le decine e così via fino alle centinaia di migliaia per la sesta ruota a sinistra. Inoltre, tutte le ruote sono dotate di una numerazione statica, rappresentata da un cerchio esterno più grande, e da una dinamica, rappresentata da un cerchio interno, entrambe numerate da 0 a 9. Puntualizzo che con il termine “dinamica” si intende il fatto che i numeri si muovano insieme alla ruota e cambino dunque la loro orientazione rispetto allo spettatore. Nella parte superiore alle ruote troviamo le sei fessure corrispondenti alle sei ruote ed queste indicano il valore che ha assunto la relativa ruota fino a quel momento durante i calcoli. Muovendo la barra sottostante le sei fessure, verso l’alto, copriamo quest’ultime per scoprirne altre. Il totale delle dodici fessure scoprono i valori di sei rulli cartacei.

L'orologio calcolatore di Schickard

Il primo tentativo convincente di costruire uno strumento di calcolo automatico è da attribuire al matematico tedesco Wilhelm Schickard: infatti, egli progettò e costruì nel 1623 il primo vero meccanismo calcolatore. Per fare questo utilizza una versione rotante dei bastoncini di Nepero e una trasmissione ad ingranaggio che era basato sul movimento di ruote dentate collegate ad un indicatore a 6 cifre. 

Questo macchinario, detto orologio calcolatore, era in grado di eseguire somme e sottrazioni grazie ad un sistema di propagazione del riporto con una rotella ad un solo dente; questo sistema creava però notevoli problemi con riporti multipli a causa dello sforzo impresso alle varie rotelle. Questo era il motivo per cui il suo strumento non andava oltre le 6 cifre; in caso di cifre superiori, aveva previsto un set di anelli da indossare sulle dita dell'operatore per "memorizzare" il riporto oltre le cifre consentite dal calcolatore. Inoltre, un campanello suonava ogni volta che il superamento avveniva, per avvertire l'operatore di mettere un altro anello sulle dita.          
Schickard costruì il primo esemplare e ne commissionò un altro per Giovanni Keplero, ma un incendio li distrusse e quindi del primo esemplare non rimane traccia, se non gli schizzi del progetto che Schickard aveva inviato a Keplero. Solo nel 1956 è stato ritrovato il progetto nel quale Schickard indicava anche come costruire lo strumento; grazie a questo, è stato possibile ricostruire l'invenzione nel 1960.

I bastoncini di Nepero

Dopo l'introduzione del nuovo sistema numerale arabo si svilupparono dei metodi di calcolo basati su di esso, come i bastoncini di Nepero(detti anche virgulae numeratrices): questi sono stati inventati da John Napier intorno al 1617 e sono basati sul principio della moltiplicazione araba.
Nella versione più semplice, questi bastoncini sono asticelle, spesso costruite con avorio, su ciascuna delle quali sono incisi i primi multipli di un numero, con le decine e le unità divise da una barra obliqua. Accostando i bastoncini corrispondenti a diverse cifre, fino a comporre un certo numero, e sommando le cifre, che risultano adiacenti nelle diverse righe, si ottiene facilmente la tabellina dei multipli del numero in questione.
Questi bastoncini possono essere considerati come una generalizzazione della tavola pitagorica, che rappresenta le tabelline, e verrano utilizzati, anche se con piccole varianti, per le addizionatrici meccaniche al fine di trasformarle in macchine "moltiplicatrici".
Infine, uno strumento che può essere considerato un perfezionamento dei bastoncini di Neplero sono i regoli di Genaille-Lucas.
P.S.: Ho spiegato questo argomento, anche se non si tratta di una macchina, perché sarà alla base di alcune macchine calcolatrici e spiegarlo dopo avrebbe confuso le idee.

Immagine dei bastoncini:

Il progetto di un calcolatore di Leonardo da Vinci

Per un periodo si pensò che l'inventore della prima macchina calcolatrice fosse Leonardo da Vinci: infatti, si trovarono due suoi lavori sconosciuti chiamati "Codice di Madrid", che raffigurano uno strano macchinario concepito per effettuare calcoli con il sistema decimale. Però, i critici sostengono che la macchina non fosse pensata come un calcolatore con capacità generali, ma solo come "ratio machine".

Questa macchina doveva funzionare in questo modo: ogni dieci giri della prima rotella avviene un giro della seconda, arrivando a 13 potenze quando si giunge ad attivare l'ultima. Però, per come veniva rappresentata la macchina nel disegno, le forze di attrito avrebbero impedito il funzionamento di essa e quindi non la si può considerare la prima macchina calcolatrice.

Come si utilizza l'abaco

Dopo aver raccontato com'è fatto l'abaco e la sua storia, voglio 
spiegare come si fanno leoperazioni con questo strumento. Questa 
volta però lo farò tramite un video: www.youtube.com/watch?v=pabZmQjSO_A&feature=em-share_video_user .
Purtroppo ho trovato solo questo video che è in spagnolo, ma si capisce comunque molto bene.
Buona visione!

L'abaco

Per quanto riguarda i calculi, si passò ad assegnare ai sassolini indistinti un diverso valore a seconda di dove venivano posizionati; questo è il principio che stava alla base delle tavole di conto. Nella forma più semplice, queste tavole erano dei supporti su cui erano segnati alcuni simboli e i sassolini raggruppati vicino a un simbolo indicavano tante volte la quantità corrispondente a quel simbolo. Il piano di lavoro, cioè la tavola per i conti, viene ora a costituire l'elemento fondamentale, scavalcando l'importanza dei calculi. 
Queste tavole venivano comunemente indicate con il termine abaco, che deriva dall'antica parola ebraica abaq, il cui significato probabilmente è "polvere", "ricoprire di polvere" o "togliere la polvere", per il fatto che sopra di essa veniva sparsa della polvere. Infatti, l'abaco era una semplice tavola di metallo, marmo o legno, ricoperta di polvere o di sabbia per essere incisa con uno stilo o con le dita; si annotavano i risultati parziali dei calcoli e i numeri da ricordare tracciando delle linee. Con il passare del tempo si sviluppò una rappresentazione numerica posizionale: la tavoletta viene divisa in righe e colonne e venivano incise delle scanalature alle quali erano attribuiti i valori delle unità, delle decine, delle centinaia e così via, partendo da destra verso sinistra. In seguito si apportarono delle modifiche alla struttura dell'abaco, in quanto si introdussero dei bottoncini che erano fissati alla tavoletta, ma potevano scorrere lungo le scanalature.

L'abaco aveva il difetto strutturale di rendere difficili e lunghe le rappresentazioni e la lettura di un numero che avesse molte posizioni decimali e ciò era dovuto a una mancanza di spazio; questi problemi emergevano quando si dovevano compiere operazioni aritmetiche che richiedevano di rappresentare contemporaneamente due numeri e i risultati parziali delle varie operazioni. Infatti, il matematico Zhu Zaiyu affermava, per esempio, che: "per l'estrazione di radice serve un abaco con 81 posizioni decimali e 567 palline, oppure occorre utilizzare contemporaneamente quattro o cinque abachi normali".
Inoltre, dopo la traduzione in latino dei trattati di algebra e aritmetica del persiano Al-Khwarizmi e dopo la pubblicazione del Liber Abaci (1202) di Pisano, vennero introdotte in Occidente le nove cifre indiane e il simbolo 0 (zero). L'adozione del nuovo sistema numerale, però, fu molto lenta e per questo motivo convissero per diversi secoli l'utilizzo dell'abaco con la numerazione romana e la nuova aritmetica con le cifre indiane. In nuovo sistema di numerazione posizionale in base dieci, gradualmente, rese obsoleta l'adozione dell'abaco come strumento di conto perchè il nuovo sistema utilizzava meno simboli con una resa migliore. Per questi motivi, a partire dal XVI secolo, l'uso dell'abaco divenne in Europa sempre più raro, fino a scomparire definitivamente.
Soltanto in alcune scuole primarie si utilizza ancora per insegnare ai bambini calcoli semplici.

I primi modi di contare..quando non c'era ancora la tecnologia!

Fin dai tempi dei Sumeri, intorno al IV millennio a.C., gli strumenti più utilizzati per effettuare conteggi in Occidente erano dei piccoli sassi: infatti, risultava molto più pratico maneggiare dei sassolini, al posto degli oggetti che si dovevano contare, ed effettuare i calcoli tramite i raggruppamenti e gli spostamenti di questi. Non è un caso che la parola "calcolo", che deriva dal latino calculus, significhi proprio "sassolino". L'utilità di questo strumento però veniva a cessare quando i numeri utilizzati erano tanto grandi. Per eliminare questo problema si passò alla costruzione di raggruppamenti: secondo un sistema numerico decimale, si considerava un certo numero di sassolini, prima una decina, poi un centinaio e successivamente un migliaio, in modo da poter valutare con maggior velocità le grandi quantità di oggetti. Per distinguere gli ordini di grandezza si potevano attuare particolari accorgimenti: si potevano costruire pietruzze di forme diverse, dove a dimensioni più grandi si facevano corrispondere valori sempre più alti, oppure i sassolini potevano assumere un determinato valore a seconda di dove venivano posizionati.
Invece, è provato che in Cina si utilizzava un metodo diverso: infatti, venivano utilizzati i numeri a bastoncini. Questi bastoncini di bambù, di legno o di avorio, venivano maneggiati su una tavola con suddivisioni in righe e colonne e il vantaggio del loro uso consisteva nella facilità e nella rapidità con cui si potevano leggere i numeri. I numeri da uno a cinque erano rappresentati allineando rispettivamente da una a cinque linee, verticali oppure orizzontali. Dal numero sei in poi si utilizzava un bastoncino orizzontale sotto al quale se ne aggiungevano di verticali, fino a rappresentare il numero nove. Arrivati alla decina si ricominciava ad utilizzare singoli bastoncini disposti in verticale.

Cos'è la matematica?

Prima di iniziare a parlare della tecnologia nella matematica, volevo aprire una breve parentesi riguardante la definizione di questa materia.
Se cerchiamo sul dizionario scopriamo che la parola"matematica" deriva dal greco mathema, traducibile con i termini "scienza" o "apprendimento", e mathematikos, che significa "desideroso di apprendere", e attualmente con questo termine si designa la disciplina che si occupa dei procedimenti che consentono di impostare e risolvere i problemi.
Secondo me, però, la definizione migliore di questa materia è: "la matematica è la sola scienza esatta in cui non si sa mai di cosa si sta parlando né se quello che si dice è vero", celebre frase di B. Russel, un filosofo e matematico inglese. Infatti, analizzando questa definizione, capiamo subito che la matematica è una scienza, e più precisamente, è una scienza formale, cioè il suo studio non procede per via sperimentale, ma per via logico-deduttiva; inoltre, è esatta, nel senso che è un sapere dedotto esclusivamente mediante le regole della logica formale, e in matematica non ha importanza come viene definito un oggetto perché non esistono la certezza e

 la verità assolute.

Altre frasi famose, che definiscono la matematica, sono:
-"La matematica è l'alfabeto nel quale Dio ha scritto l'universo" di Galileo Galilei
-"Il linguaggio della matematica si rivela [...] un dono meraviglioso che non comprendiamo nè meritiamo" di Eugene P. Wigner.
-"La matematica è la vita degli dei" di Novalis.
-"La matematica è più di una forma d'arte" di Takakazu Seki

Abbecedario

E ora un po' di lettere e parole del vocabolario matematico!

A come Abaco

B come Bessel

C come Coseno

D come Derivata

E come Equazione

F come Funzione

G come Geometria

H come Helena Rasiowa

I come Integrale

L come Limite

M come Misura

N come Numero

O come Operazione

P come Problema

Q come Quoziente

R come Radice

S come Statistica

T come Trigonometria

U come Uguaglianza 

V come Vettore

Z come Zero.